บทนำ Marble Peg Solitaire Classic 2
Peg solitaire, Solo Noble หรือ Solitaire เป็นเกมกระดานสำหรับผู้เล่น 1 คนที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนหมุดบนกระดานที่มีรู บางชุดใช้หินอ่อนบนกระดานที่มีการเยื้อง เกมนี้เป็นที่รู้จักในชื่อเล่นไพ่คนเดียวในสหราชอาณาจักร และหมุดเล่นไพ่คนเดียวในสหรัฐอเมริกา ซึ่งปัจจุบัน 'ไพ่คนเดียว' เป็นชื่อสามัญของความอดทน มันถูกเรียกว่า Brainvita ในอินเดีย เกมมาตรฐานจะวางหมุดให้เต็มกระดาน ยกเว้นรูตรงกลาง วัตถุประสงค์คือเพื่อเคลื่อนที่อย่างถูกต้อง และทำให้กระดานว่างทั้งหมด ยกเว้นหมุดเดี่ยวในรูตรงกลาง
การเล่น การเคลื่อนไหวที่ถูกต้องคือการกระโดดหมุดตั้งฉากเหนือหมุดที่อยู่ติดกันเข้าไปในหลุมที่อยู่ห่างออกไปสองตำแหน่ง จากนั้นจึงถอดหมุดที่กระโดดออก · หมายถึงหมุดในรู * นูนหมายถึงหมุดที่จะย้าย และ o หมายถึงรูว่าง ¤ สีน้ำเงินคือรูที่หมุดปัจจุบันย้ายมา สีแดง * คือตำแหน่งสุดท้ายของหมุดนั้น และสีแดง o คือรูของหมุดที่ถูกกระโดดและถอดออก
มีวิธีแก้ไขปัญหามาตรฐานที่แตกต่างกันมากมาย และสัญลักษณ์หนึ่งที่ใช้อธิบายจะกำหนดตัวอักษรให้กับรู:
ด้วยเหตุผลอื่นๆ มีการใช้สัญลักษณ์ภาพสะท้อนนี้ เนื่องจากบนกระดานของยุโรป เกมทางเลือกหนึ่งชุดคือการเริ่มต้นด้วยหลุมที่ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งและจบด้วยหมุดตัวเดียวในตำแหน่งที่สะท้อน บนกระดานภาษาอังกฤษ เกมทางเลือกที่เทียบเท่ากันคือเริ่มต้นด้วยหลุมและจบด้วยหมุดในตำแหน่งเดียวกัน
อย่างไรก็ตาม มีรูปแบบอื่นๆ อีกหลายรูปแบบที่สามารถลดรูเริ่มต้นเพียงรูเดียวให้เหลือหมุดเพียงอันเดียวได้
กลยุทธ์ที่สามารถใช้ได้คือการแบ่งกระดานออกเป็นสามแพ็คเกจ และล้าง (ถอด) กระดานทั้งหมดโดยใช้หมุดพิเศษตัวหนึ่งซึ่งเป็นตัวเร่งปฏิกิริยา ซึ่งจะกระโดดออกมาแล้วกระโดดกลับอีกครั้ง ในตัวอย่างด้านล่าง * คือเทคนิคตัวเร่งปฏิกิริยาที่สามารถใช้ได้กับเส้น 3 บล็อก 2·3 และรูปทรง L 6 หมุดที่มีฐานยาว 3 และแนวตั้งยาว 4
เกมทางเลือกอื่นๆ ได้แก่ การเริ่มต้นด้วยหลุมว่างสองหลุมและจบด้วยหมุดสองอันในหลุมเหล่านั้น เริ่มต้นด้วยรูหนึ่งตรงนี้และปิดท้ายด้วยหมุดหนึ่งอันตรงนั้น บนกระดานภาษาอังกฤษ หลุมนั้นสามารถอยู่ที่ใดก็ได้ และหมุดสุดท้ายจะต้องจบลงเมื่อทวีคูณของสามเท่านั้น ดังนั้นหลุมที่ a สามารถปล่อยหมุดที่ a, p, O หรือ C ได้เพียงอันเดียว
การศึกษาเกี่ยวกับการเล่นไพ่คนเดียวหมุด
เป็นที่รู้กันว่ามีการวิเคราะห์เกมอย่างละเอียด การวิเคราะห์นี้นำเสนอแนวคิดที่เรียกว่าฟังก์ชันเจดีย์ ซึ่งเป็นเครื่องมือที่แข็งแกร่งในการแสดงความเป็นไปไม่ได้ของปัญหาการเล่นไพ่คนเดียวที่กำหนดโดยทั่วๆ ไป
วิธีแก้ปัญหาสำหรับการค้นหาฟังก์ชันเจดีย์ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปไม่ได้ของปัญหาที่กำหนด ได้รับการจัดทำขึ้นเป็นปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม
บทความในปี 1990 จัดการกับปัญหา Hi-Q ทั่วไปซึ่งเทียบเท่ากับปัญหา peg solitaire และแสดงให้เห็นความสมบูรณ์ของ NP
บทความปี 1996 ได้กำหนดปัญหาการเล่นไพ่คนเดียวหมุดในฐานะปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดแบบผสมผสาน และอภิปรายถึงคุณสมบัติของพื้นที่ที่เป็นไปได้ที่เรียกว่า 'กรวยเล่นไพ่คนเดียว'
ในปี 1999 peg solitaire ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์บนคอมพิวเตอร์โดยใช้การค้นหาอย่างละเอียดถี่ถ้วนผ่านตัวแปรที่เป็นไปได้ทั้งหมด ทำได้สำเร็จโดยการใช้ความสมมาตร การจัดเก็บกลุ่มดาวบนกระดานอย่างมีประสิทธิภาพ และการแฮช
ในปี 2544 ได้มีการพัฒนาวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาไพ่โซลิแทร์หมุด
การศึกษาที่ยังไม่ได้เผยแพร่ตั้งแต่ปี 1989 เกี่ยวกับเกมเวอร์ชันทั่วไปบนกระดานภาษาอังกฤษ แสดงให้เห็นว่าแต่ละปัญหาที่เป็นไปได้ในเกมทั่วไปมีวิธีแก้ไขที่แตกต่างกันที่เป็นไปได้ 29 วิธี ไม่รวมสมมาตร เนื่องจากกระดานภาษาอังกฤษประกอบด้วยช่องสี่เหลี่ยมย่อยขนาด 3×3 ที่แตกต่างกัน 9 ช่อง ผลที่ตามมาประการหนึ่งของการวิเคราะห์นี้คือ การวางขอบเขตล่างของขนาดของปัญหา "ตำแหน่งกลับหัว" ที่เป็นไปได้ ซึ่งเซลล์ที่ถูกครอบครองในตอนแรกจะถูกปล่อยว่างไว้ และในทางกลับกัน การแก้ปัญหาใดๆ จะต้องมีการเคลื่อนไหวอย่างน้อย 11 ครั้ง โดยไม่คำนึงถึงรายละเอียดที่แท้จริงของปัญหา
สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้พีชคณิตเชิงนามธรรมว่ามีตำแหน่งกระดานคงที่เพียง 5 ตำแหน่งซึ่งเกมสามารถจบได้ด้วยหมุดเดียว
การเล่น การเคลื่อนไหวที่ถูกต้องคือการกระโดดหมุดตั้งฉากเหนือหมุดที่อยู่ติดกันเข้าไปในหลุมที่อยู่ห่างออกไปสองตำแหน่ง จากนั้นจึงถอดหมุดที่กระโดดออก · หมายถึงหมุดในรู * นูนหมายถึงหมุดที่จะย้าย และ o หมายถึงรูว่าง ¤ สีน้ำเงินคือรูที่หมุดปัจจุบันย้ายมา สีแดง * คือตำแหน่งสุดท้ายของหมุดนั้น และสีแดง o คือรูของหมุดที่ถูกกระโดดและถอดออก
มีวิธีแก้ไขปัญหามาตรฐานที่แตกต่างกันมากมาย และสัญลักษณ์หนึ่งที่ใช้อธิบายจะกำหนดตัวอักษรให้กับรู:
ด้วยเหตุผลอื่นๆ มีการใช้สัญลักษณ์ภาพสะท้อนนี้ เนื่องจากบนกระดานของยุโรป เกมทางเลือกหนึ่งชุดคือการเริ่มต้นด้วยหลุมที่ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งและจบด้วยหมุดตัวเดียวในตำแหน่งที่สะท้อน บนกระดานภาษาอังกฤษ เกมทางเลือกที่เทียบเท่ากันคือเริ่มต้นด้วยหลุมและจบด้วยหมุดในตำแหน่งเดียวกัน
อย่างไรก็ตาม มีรูปแบบอื่นๆ อีกหลายรูปแบบที่สามารถลดรูเริ่มต้นเพียงรูเดียวให้เหลือหมุดเพียงอันเดียวได้
กลยุทธ์ที่สามารถใช้ได้คือการแบ่งกระดานออกเป็นสามแพ็คเกจ และล้าง (ถอด) กระดานทั้งหมดโดยใช้หมุดพิเศษตัวหนึ่งซึ่งเป็นตัวเร่งปฏิกิริยา ซึ่งจะกระโดดออกมาแล้วกระโดดกลับอีกครั้ง ในตัวอย่างด้านล่าง * คือเทคนิคตัวเร่งปฏิกิริยาที่สามารถใช้ได้กับเส้น 3 บล็อก 2·3 และรูปทรง L 6 หมุดที่มีฐานยาว 3 และแนวตั้งยาว 4
เกมทางเลือกอื่นๆ ได้แก่ การเริ่มต้นด้วยหลุมว่างสองหลุมและจบด้วยหมุดสองอันในหลุมเหล่านั้น เริ่มต้นด้วยรูหนึ่งตรงนี้และปิดท้ายด้วยหมุดหนึ่งอันตรงนั้น บนกระดานภาษาอังกฤษ หลุมนั้นสามารถอยู่ที่ใดก็ได้ และหมุดสุดท้ายจะต้องจบลงเมื่อทวีคูณของสามเท่านั้น ดังนั้นหลุมที่ a สามารถปล่อยหมุดที่ a, p, O หรือ C ได้เพียงอันเดียว
การศึกษาเกี่ยวกับการเล่นไพ่คนเดียวหมุด
เป็นที่รู้กันว่ามีการวิเคราะห์เกมอย่างละเอียด การวิเคราะห์นี้นำเสนอแนวคิดที่เรียกว่าฟังก์ชันเจดีย์ ซึ่งเป็นเครื่องมือที่แข็งแกร่งในการแสดงความเป็นไปไม่ได้ของปัญหาการเล่นไพ่คนเดียวที่กำหนดโดยทั่วๆ ไป
วิธีแก้ปัญหาสำหรับการค้นหาฟังก์ชันเจดีย์ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปไม่ได้ของปัญหาที่กำหนด ได้รับการจัดทำขึ้นเป็นปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม
บทความในปี 1990 จัดการกับปัญหา Hi-Q ทั่วไปซึ่งเทียบเท่ากับปัญหา peg solitaire และแสดงให้เห็นความสมบูรณ์ของ NP
บทความปี 1996 ได้กำหนดปัญหาการเล่นไพ่คนเดียวหมุดในฐานะปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดแบบผสมผสาน และอภิปรายถึงคุณสมบัติของพื้นที่ที่เป็นไปได้ที่เรียกว่า 'กรวยเล่นไพ่คนเดียว'
ในปี 1999 peg solitaire ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์บนคอมพิวเตอร์โดยใช้การค้นหาอย่างละเอียดถี่ถ้วนผ่านตัวแปรที่เป็นไปได้ทั้งหมด ทำได้สำเร็จโดยการใช้ความสมมาตร การจัดเก็บกลุ่มดาวบนกระดานอย่างมีประสิทธิภาพ และการแฮช
ในปี 2544 ได้มีการพัฒนาวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาไพ่โซลิแทร์หมุด
การศึกษาที่ยังไม่ได้เผยแพร่ตั้งแต่ปี 1989 เกี่ยวกับเกมเวอร์ชันทั่วไปบนกระดานภาษาอังกฤษ แสดงให้เห็นว่าแต่ละปัญหาที่เป็นไปได้ในเกมทั่วไปมีวิธีแก้ไขที่แตกต่างกันที่เป็นไปได้ 29 วิธี ไม่รวมสมมาตร เนื่องจากกระดานภาษาอังกฤษประกอบด้วยช่องสี่เหลี่ยมย่อยขนาด 3×3 ที่แตกต่างกัน 9 ช่อง ผลที่ตามมาประการหนึ่งของการวิเคราะห์นี้คือ การวางขอบเขตล่างของขนาดของปัญหา "ตำแหน่งกลับหัว" ที่เป็นไปได้ ซึ่งเซลล์ที่ถูกครอบครองในตอนแรกจะถูกปล่อยว่างไว้ และในทางกลับกัน การแก้ปัญหาใดๆ จะต้องมีการเคลื่อนไหวอย่างน้อย 11 ครั้ง โดยไม่คำนึงถึงรายละเอียดที่แท้จริงของปัญหา
สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้พีชคณิตเชิงนามธรรมว่ามีตำแหน่งกระดานคงที่เพียง 5 ตำแหน่งซึ่งเกมสามารถจบได้ด้วยหมุดเดียว
เพิ่มเติม
